using and applying mathematics across the primary curriculum

USING AND APPLYING MATHEMATICS ACROSS THE PRIMARY CURRICULUM

Penggunaan dan Penerapan Matematika melalui Kurikulum Dasar

            Penggunaan dan penerapan dalam matematika memiliki lima tema: komunikasi, penalaran, penyelidikan, representasi dan pemecahan masalah. Dalam bab ini, kita akan mengkaji empat tema pertama  dan kontribusi gabungan mereka bagi keberhasilan penggunaan dan aplikasi dalam matematika. Kontribusi dari masing-masing tema tersebut terhadap keberhasilan aktivitas pemecahan masalah merupakan fokus dari bab 3. Sebagaimana dinyatakan dalam Hardy 1941, seorang ahli matematika, sama seperti pelukis atau penyair, adalah seorang pembuat pola. Jika pola nya lebih permanen daripada mereka, itu karena mereka dibuat dengan ide-ide. (Hardy, 1941, dikutip dalam Pickover, 2005, p.142)

v Pengantar Penggunaan dan Penerapan Matematika sejak 1989

            Dalam National Curriculum(NC) (1989), Target Pencapaian Pertama (First Attainment Target /MA1) adalah menggunakan dan menerapkan matematika. Hal ini memberi kesan bahwa target pencapaian pertama merupakan daerah yang terpisah dari matematika, bukan merupakan bagian penting dari semua bidang matematika. Beberapa guru akan memiliki kekhususan,agak terstruktur, menggunakan dan menerapkan pelajaran, seringkali pada akhir modul kerja yang melibatkan hal diluar program studi.

            NC (1999a) mendeteksi kelemahan ini dan menempatkan penggunaan dan penerapan matematika pada bagian awal pembelajaran. Sebagai hasil dari ini, MA1 sebagai unit terpisah menghilang dan menjadi bagian dari MA2 sebagai menggunakan dan menerapkan nomor (Tahapan Kunci 1 dan 2), bagian dari MA3 sebagai menggunakan dan menerapkan bentuk, ruang dan ukuran (Tahapan Kunci 1 dan 2) dan bagian dari MA4 sebagai menggunakan dan menerapkan penanganan data (Key Stage 2).

            National Numeracy Strategy (NNS) (1999b) tidak mengikuti pola ini. Sebaliknya, penggunaan dan penerapan matematika menjadi 'add on' atau penambahanpada akhir pengajaran materi tertentu. Penggunaan dan penerapan keterampilan pemecahan masalah matematika, pengetahuan dan pemahaman menjadimembuat keputusan, penalaran dan generalisasi tentang nomor dan bentuk. Masalah yang melibatkan 'kehidupan nyata', uang atau ukuran yang memiliki banyak jenis, dengan tujuan mereka masing-masing memungkinkan anak-anak untuk menerapkan apa yang telah mereka pelajari dalam pelajaran sebelumnya. Ada kecenderungan tidak adanya koneksi di bidang matematika atau dengan mata pelajaran lain atau kehidupan di luar kelas.

            Primary National Strategy (PNS) (2006a) mengikuti inti utama dari dokumen Excellence and Enjoyment (2003) dan menekankan pentingnya anak-anak yang bersemangat dan terlibat dalam pembelajaran mereka. Salah satu tujuan dari kerangka kerja ini memberikan peggunaan dan penerapan matematika sebuah profil yang lebih tinggi dan didirikan kembali kepentingannya. Ada berbagai macam bahan pendukung bagi para guru, dan bimbingan pada potensi untuk menggabungkan matematika dengan bidang studi lainnya. Kelima penggunaan dan penerapan tema dari PNS: komunikasi, penalaran, penyelidikan, representasi dan pemecahan masalah, memiliki pengembangan diri yang jelas.

                        Rekomendasi 9 dari Laporan Williams (DCSF, 2008, p.62) adalah bagian dari Ulasan Rose yang keempat dari kurikulum dasar (2009a) yang harus mengkaji 'konsep "penggunaan dan penerapan" lebih umum di seluruh mata pelajaran, untuk menilai apakah aspek matematika berbeda dari kurikulum yang butuh perbaikan. Lebih dalam lagi, Laporan Rose (DCSF, 2009a) menekankan pada keinginan antara campuran pengajaran berkualitas tinggi pengajaran dan pekerjaan lintas-kurikuler yang menarik. Anak-anak harus memiliki kesempatan untuk menggunakan dan menerapkan keterampilan matematika, pengetahuan dan pemahaman baik dalam pekerjaan matematika terfokus dan dalam pekerjaan di seluruh kurikulum.
Sementara White Paper (DCSF, 2009b) menghapus harapan bahwa sekolah akan mematuhi struktur PNS, sekolah akan terus menggunakan dan menyesuaikan isinya dalam rangka untuk lebih mengembangkan pengajaran dan pembelajaran dan memberikan berbagai persyaratan NC. Oleh karena itu, lima bidang penggunaan dan penerapan matematika terus menjadi komponen yang sangat penting dalam matematika di sekolah dasar.

v Komunikasi

       Tabel 2.1 menunjukkan perkembangan dalam tema berkomunikasi dari menggunakan dan menerapkan untai matematika dari PNS dari Tahap Dasar untuk Tahun 6/7 (DfES, 2006b, p.3).

Tabel 2.1 Kemajuan dalam tema berkomunikasi dari penggunaan dan penerapan untai matematika dari PNS dari Tahap Dasar untuk Tahun 6/7

Pondasi:  Menggambarkan solusi untuk masalah-masalah praktis, menggambarka pengalaman,berbicara tentang ide-ide mereka sendiri, metode dan pilihan

Tahun 1           Menggambarkan cara memecahkan teka-teki dan masalah, menjelaskan pilihan dan keputusan secara lisan atau menggunakan gambar

Tahun 2      Menghadirkan solusi untuk teka-teki dan masalah dengan cara yang terorganisir, menjelaskan keputusan, metode dan hasil dalam gambar, lisan atau tertulis, menggunakan bahasa matematika dan jumlah kalimat

Tahun 3      Menggambarkan dan menjelaskan metode, pilihan dan solusi untuk teka-teki dan masalah, secara lisan dan tertulis, dengan menggunakan gambar dan diagram

Tahun 4            Melaporkan solusi dari  teka-teki dan masalah, memberikan penjelasan dan penalaran secara lisan dan tertulis, dengan menggunakan diagram dan simbol

Tahun 5      Menjelaskan alasan menggunakan diagram, grafik dan teks, meningkatkan cara merekam menggunakan gambar dan simbol

Tahun 6         Menjelaskan alasan dan kesimpulan, menggunakan kata-kata, simbol atau diagram yang sesuai

Tahun 6/7    Menjelaskan dan membenarkan penalaran dan kesimpulan, dengan menggunakan notasi, simbol dan diagram, menemukan contoh untuk menyangkal dugaan, langkah-demi-langkah menggunakan pemotongan untuk memecahkan masalah yang melibatkan bentuk

Sumber: DfES Renewing the Primary Frame Work for Mathematics Guidance Paper. Using Applying Mathematics London: DfES Publications, 2006b, p.3.

            Lee (2006, pp.15-16) membahas bagaimana bahasa matematika menggunakan kata-kata dalam tiga kategori:

-          'Kata-kata yang memiliki arti yang sama dalam bahasa sehari-hari seperti yang mereka lakukan dalam bahasa Inggris dasar

-          kata-kata yang memiliki makna hanya dalam bahasa matematika

-          kata-kata yang memiliki arti yang berbeda dalam bahasa matematika dan bahasa sehari-hari

            Penting untuk mengenali ketiga kategori tersebut dimana bahasa dapat menjadi penghalang yang cukup untuk kegiatan belajar anak-anak, baik itu kemampuan mereka untuk berkomunikasi dengan rekan-rekan mereka atau kemampuan guru untuk berkomunikasi dengan mereka. Pratt (2006, halaman 2) mengakui pentingnya komunikasi sebagai 'belajar fundamental yang melibatkan orang untuk berkomunikasi tentang ide-ide satu sama lain'. Keterampilan komunikasi yang diidentifikasi dalam NC (2000) tercatat sebagai orang-orang berbicara dan mendengarkan dan membaca dan menulis. Untuk hal ini, kita akan menambahkan banyak bentuk ilustrasi.

            Hymer dan Michel (2002) memandang pentingnya diskusi dan bertanya di mana guru dan peserta didik diberi kesempatan untuk membuat penilaian yang seimbang serta latihan yang teliti,merupakan  pilihan yang cerdas. Untuk melakukan hal itu ada kebutuhan bagi semua anggota kelas untuk merasa aman secara emosional. Ini hanya mungkin dalam suasana saling menghormati di mana siswa merasa adanya batas-batas yang adil yang menciptakan ketertiban sosial. kesempatan bagi anak-anak untukbekerja dalam berbagai cara termasuk secara kolaboratif dan mandiri;merencanakan dan mengatur pekerjaan;belajar bahasa emosi dan berpikir;menjadi kreatif;membuat pilihan tentang belajar mereka. (Hymer dan Michel 2002, hal.56)

            Terlalu sering penekanannya ditempatkan pada komunikasi antara anak dan guru. Namun, anak-anak perlu memahami pentingnya berkomunikasi untuk diri mereka sendiri seperti mencatat informasi penting dalam masalah yang mereka hadapi kembali. Mereka perlu berkomunikasi dengan rekan-rekan mereka ketika mendiskusikan strategi yang diperlukan untuk penyelidikan, dan memiliki kepercayaan diri untuk melibatkan khalayak yang lebih luas dari orang dewasa dan anak-anak di lingkungan mereka. Billington et al. (1993, p.40) mengakui bahwa 'ketika anak-anak didorong untuk bekerja sama dalam  kegiatan matematika, mereka berdiskusi dan berbagi ide-ide mereka, mereka berbicara lebih bebas dan meningkatkan kemampuan bahasa mereka, mereka mengambil risiko yang lebih besar dalam mengajukan pertanyaan, mereka mengembangkan strategi yang lebih baik , mereka saling mendukung dalam pembelajaran mereka. Apalagi anak yang bekerja dengan cara ini lebih mungkin untuk secara terbuka mengungkapkan keraguan tentang pemahaman mereka. "

            Mereka juga menekankan bahwa "belajar bahasa adalah proses yang tidak pernah berakhir. Anak-anak dari segala usia memerlukan dukungan untuk makna, melalui tindakan, mengamati, dan berbagi. "Dalam iklim diskusi kolaboratif, anak akan memulai percakapan dengan orang dewasa maupun dengan teman sekelas mereka.

            Penting untuk tidak mengabaikan kesempatan bagi anak-anak untuk membahas matematika mereka dengan pengunjung, seperti gubernur, ke sekolah. Kami memiliki memori yang jelas dari seorang gadis 6 tahun, menyadari bahwa dia sedang berbicara dengan salah satu dari Her Majesty Inspectorate(HMI), yang pada waktu itu mengawasi matematika dasar di Inggris, dengan hati-hati menjelaskan seluk-beluk perkalian Mesir kepadanya.

            Buku Kosakata Matematika NNS (DfEE, 1999c, hal.4) mengingatkan kita akan pentingnya penggunaan berbagai kosakata matematika dan pendukung 'pendekatan terstruktur untuk mengajar dan belajar kosakata'. Kata-kata baru harus diperkenalkan dalam konteks dan dalam situasi praktis. Kata-kata ini harus digunakan berulang kali dalam diskusi, dan guru harus menyusun pertanyaan untuk mendorong penggunaannya. Memiliki kosakata yang benar memungkinkan anak-anak untuk menempatkan penalaran mereka dalam kata-kata secara efisien dan akurat.

            Bertanya dalam memahami ide-ide matematika adalah sangat penting. Buku Kosakata Matematika (DfEE, 1999c, hal.4-6) mendaftar jenis pertanyaan yang digunakan oleh guru sebagai berikut:

-          Untuk mengingat fakta - berapa banyak angka 4 yang ada di enam belas?

-          Untuk menerapkan fakta - apa unit yang akan Anda gunakan untuk mengukur susu ini?

-         Untuk berhipotesis atau memprediksi –sekitar berapa banyak jumlah kancing yang ada di dalam botol?

-          Untuk merancang dan membandingkan prosedur - bagaimana Anda mengoperasikan 99-45?

-          Untuk menginterpretasikan hasil –warna apa yang merupakan warna mata yang paling umum?

-          Untuk menerapkan alasan - bagaimana Anda tahu bahwa itu adalah segitiga sama kaki?

            Guru harus menggunakan kombinasi dari pertanyaan terbuka dan tertutup. Pertanyaan tertutup, seperti ‘berapakah  4p ditambah 1p’ hanya memiliki satu jawaban yang benar. Pertanyaan terbuka, seperti ‘berapa banyak cara yang dapat Anda buat untuk menghasilkan 5p’, menggunakan koin yang berbeda memiliki lebih dari satu jawaban dan memberikan lebih dari sebuah tantangan bagi anak-anak untuk memikirkan jawaban yang berbeda sesuai dengan kemampuan mereka.

v  Penalaran

            Tabel 2.2 menunjukkan perkembangan dalam tema penalaran yang menggunakan dan menerapkan untai matematika dari PNS dari Tahap Dasar  untuk Tahun 6/7 (DfES, 2006b, p.3).

            The NC (DfEE, 1999a, p.22) mengakui bahwa ‘keterampilan penalaran memungkinkan siswa untuk memberikan alasan terhadap pendapat dan tindakan, untuk menarik kesimpulan dan membuat deduksi, menggunakan bahasa yang tepat untuk menjelaskan apa yang mereka pikirkan dan untuk membuat penilaian dan keputusan berdasarkan alasan atau bukti '.

            Guidance Paper  (DfES, 2006b, hal.11) menegaskan bahwa 'penalaran melibatkan beberapa pemahaman tentang "aturan logis": mengetahui apa dan ketika hal-hal yang sama atau berbeda, mengakui kesetaraan apa artinya dan bagaimana mengekspresikannya, misalnya, jumlah yang setara kalimat atau perhitungan 'ini juga melibatkan implikasi pemahaman sehingga anak menyadari bahwa' kelipatan 6 juga kelipatan 2 dan 3 atau segiempat dengan empat sudut siku-siku. berarti sisi yang berlawanan adalah sama’.

Tabel 2.2 Kemajuan dalam tema penalaran yang menggunakan dan menerapkan untai matematika dari PNS dari Tahap Dasar untuk Tahun 6/7

Pondasi             Berbicara tentang, mengenali dan menciptakan pola sederhana

Tahun 1           Menggambarkan pola sederhana dan hubungan yang melibatkan angka atau bentuk; memutuskan apakah contoh memenuhi kondisi yang diberikan

Tahun 2             Menggambarkan pola dan hubungan yang melibatkan angka atau bentuk, membuat   prediksi dan menguji dengan contoh

Tahun 3     Menggunakan pola dan hubungan yang melibatkan angka atau bentuk, dan menggunakan ini untuk memecahkan masalah

Tahun 4            Mengidentifikasi dan menggunakan pola, hubungan dan sifat dari angka atau bentuk; menyelidiki pernyataan yang melibatkan angka dan mengujinya dengan contoh-contoh

Tahun 5         Mengeksplorasi pola, sifat dan hubungan, dan mengajukan suatu pernyataan umum yang melibatkan angka atau bentuk, mengidentifikasi contoh-contoh berupa pernyataan benar atau salah

Tahun 6          Merepresentasi dan menafsirkan urutan, pola dan hubungan yang melibatkan angka dan bentuk, mengajukan dan menguji hipotesis, membangun dan menggunakan ekspresi dan rumus sederhana dalam kata-kata kemudian simbol-simbol (misalnya harga pena c pada 15 pence masing-masing adalah 15 c pence test)

Tahun 6/7      Menghasilkan urutan dan menggambarkan istilah umum, penggunaan huruf dan    simbol untuk mewakili nomor tak dikenal atau variabel; menyajikan hubungan sederhana seperti grafik

Sumber: DfES Renewing the Primary Frame Work for Mathematics Guidance Paper. Using Applying Mathematics London: DfES Publications, 2006b, p.3.

            Guidance Paper (DfES, 2006b, hal.11) lebih mengingatkan kita bahwa anak-anak perlu diajarkan bagaimana untuk bernalar. "Anak-anak sering terlalu cepat membuat asumsi tentang apa yang mereka pikir dan mereka lihat daripada kritis menilai informasi, konteks dan situasi yang diberikan kepada mereka. Anak-anak perlu diajarkan bagaimana untuk merekam pemikiran mereka dan penalaran dalam matematika karena mereka menggambarkan, meniru dan membuat pola dan mengeksplorasi sifat dan hubungan. Keterampilan merekam ini, menggunakan benda-benda, gambar, angka atau bentuk, membantu anak-anak untuk melihat apa yang bisa dan mulai mempertimbangkan apa yang mungkin. Mereka membantu anak-anak untuk menjelaskan apa yang sama dan apa yang berbeda. Mereka membantu anak-anak untuk mengumpulkan bukti ketika menguji pernyataan umum atau untuk memprediksi dan mengusulkan hipotesis baru. "

            Ada begitu banyak tekanan dalam merekam. Awalnya apa yang anak-anak perlu lakukan adalah untuk verbalisasi penalaran mereka,  penggunaan kelompok atau pasangan sangat berguna. Anak-anak perlu bicara tentang apa yang mereka lakukan dan kemudian memodifikasi pemikiran mereka dalam bentuk  pertanyaan dan ide-ide yang dibangun oleh guru dan anak-anak lain. Hal ini menyoroti pentingnya pleno di mana seluruh kelas datang bersama-sama untuk membahas masalah dan solusi yang mungkin dalam lingkungan yang mendukung.

            Kemampuan untuk bernalar berhubungan erat dengan kemampuan membuat koneksi yang diidentifikasi oleh Askew et al. (1997)sebagai hal yang sangat penting. Jadi, misalnya, guru, memperkenalkan konsep penjumlahan dan pengurangan (atau perkalian dan pembagian) bersama-sama, sebagai bagian yang terpisah dari wilayah pembelajaran, yang membantu untuk membangun koneksi tersebut. Dari tahap pondasi, hubungan ini dapat dibuat: jika bebek plastik bisa terbang ke dalam mangkuk, mereka bisa sama baiknya terbang keluar lagi!

            Sebuah kelas yang mencakup etos, 'tidak masalah jika salah' sangat penting. Sangat penting bahwa anak-anak diberi kesempatan untuk menjelaskan alasan mereka dan bahwa mereka tidak meninggalkan perasaan mereka sudah 'keliru'. Namun, sebagai anak-anak semakin tua mereka perlu disadarkan bahwa jawaban  sementara  yang mereka berikan adalah sangat masuk akal itu bukanlah hal  yang penulis inginkan.

            Hasil dari seorang guru yang  menyampaikan penalaran mereka sendiri juga dapat sangat bermanfaat bagi anak-anak. Sebuah cara untuk mencapai hal ini secara alami adalah untuk memperkenalkan beberapa kegiatan dan penyelidikan yang jawabannya benar-benar tidak diketahui. Dengan cara ini guru dan siswa memodelkan  penalaran mereka bersama-sama.

            Para PNS juga menekankan pentingnya anak-anak memiliki akses  kosakata dan bahasa matematika yang benar sehingga mereka dapat berbagi penalaran mereka dengan orang lain. Sayangnya, 'banyak pelajaran yang  tidak cukup  menekankan  pada  pembicaraan matematika, sebagai akibatnya, murid berjuang untuk mengekspresikan dan mengembangkan pemikiran mereka' (DCSF, 2008, hal.5).

            Du Sautoy (2008, p.96) mengingatkan kita bahwa 'matematika adalah pencari pola'. Adalah penting bahwa kesempatan yang dibuat untuk anak-anak yang sangat muda untuk mengalami dan memahami pola menggunakan sumber daya praktis seperti manik-manik berwarna pada string. Tantangan awal bagi anak-anak adalah untuk menyalin pola sederhana. Dalam hal iniseorang pembantu dewasa dapat mengajukan pertanyaan-pertanyaan seperti, 'bagaimana Anda tahu bahwa Anda perlu untuk menempatkan manik merah berikutnya? "Tahap selanjutnya adalah meminta anak-anak untuk memperpanjang pola, mendukung dengan pertanyaan yang mungkin, apa yang terjadi selanjutnya? Jika hal ini diikuti dengan kebutuhan anak-anak untuk menjelaskan mengapa mereka telah memutuskan manik-manik merah datang berikutnya, maka mereka sedang membangun fondasi yang kuat untuk jumlah dan pola aljabar yang diikuti. Pencarian untuk pola adalah respon otomatis manusia (psikolog menyebutnya sebagai 'gestalt') dan semua tanggapan tersebut perlu sering digunakan dan dikembangkan secara maksimal.

            Penciptaan pola oleh anak-anak kadang-kadang merupakan bagian yang diabaikan dengan penekanan pada pekerjaan dengan pola yang sudah ada. Anak dapat menciptakan pola untuk orang lain untuk bekerja keluar dan kemudian melanjutkan.

Selanjutnya, pola kerja bergerak menjauh dari atribut seperti warna, ukuran dan bentuk dan menuju nomor, meskipun pada awalnya harus memiliki representasi konkret dari beberapa macam. Namun guru harus menyadari bahwa seorang anak yang dapat memperpanjang urutan nomor seperti 2, 4, 6, 8, mungkin hanya ingat urutan tanpa benar-benar memahami relevansinya dalam kegiatan tertentu. Sebuah contoh yang terkenal dari hal ini adalah anak yang berhasil mewarnai  seratus kotak menunjukkan tabel dua kali dengan berkonsentrasi hanya pada pola bergaris yang diciptakan dan bukan didasari oleh matematika.

Sebuah contoh menarik menggabungkan sumber daya dan pola bilangan disediakan oleh kaleng kacang yang ditumpuk seperti yang ditunjukkan di bawah ini menciptakan urutan bilangan segitiga. Lihat Gambar 2.1.

Pertanyaan yang mungkin diikuti:

Jika ada 5 kaleng di lapisan bawah, berapa kaleng yang akan ada di tumpukan?

Dapatkah Anda menjelaskan polanya?

Bagaimana jika ada 8 kaleng pada lapisan bawah?

Anak-anak dapat ditantang  lebih lanjut:

Bagaimana jika saya katakan ada 55 kaleng dalam tumpukan, bisakah Anda menceritakan berapa kaleng yang akan ada dilapisan bawah?

Jika kita menulis jumlah kaleng di setiap tumpukan, apa yang khusus tentang angka-angka ini? (Andamemperkenalkan angka segitiga.)

Gambar 2.1 Pola kaleng kacang panggang bersusun.

Kerja pola bilangan dapat dikembangkan dengan penggunaan mesin Fungsi, baik dari berbagai kotak kardus atau dari program komputer seperti Mesin Fungsi Ambleweb. Robot ini membutuhkan lubang di belakang di mana guru dapat menambahkan multi-link sebagai 'conveyor belt memegang multilink melewati robot Mesin Fungsi'. Lihat Gambar 2.2.

Gambar 2.2 cardboard box function machine

Apa yang terjadi dengan multi-link di Robot? Anak-anak akan memberikan jawaban yang berbeda, 5 ditambahkan atau jumlah itu dua kali lipat. Keduanya berpotensi benar, sehingga prosedur harus diulang. Kali ini 3 multi-link masuk dan keluar 6, kemudian 4 masuk dan 8 keluar. Jelas jumlah itu dua kali lipat.

Peralatan buatan ini merupakan salah satu yang paling sering dipinjam oleh mahasiswa yang juga digunakan secara kreatif dalam bidang matematika lainnya seperti dengan bentuk 2-D dan 3-D - masuk persegi dan keluar kubus, masuk  segitiga dan keluar prisma segitiga. Apa fungsi dari Robot? Robot ini  juga digunakan dalam keaksaraan untuk jamak, awalan dll.

v  Penyelidikan

Tabel 2.3 menunjukkan perkembangan dalam tema bertanya tentang menggunakan dan menerapkan untai matematika dari PNS dari Tahap Fondasi untuk Tahun 6/7 (DfES, 2006b, p.3).

            The NC (DfEE, 1999a, p.22) mengakui bahwa keterampilan penyelidikan ‘ memungkinkan siswa untuk mengajukan pertanyaan yang relevan, untuk menemukan dan mendefinisikan masalah, untuk merencanakan apa yang harus dilakukan dan bagaimana menelitinya, untuk memprediksi hasil dan mengantisipasi respon, untuk menguji kesimpulan dan meningkatkan ide-ide '.

   Tema ini dalam menggunakan dan menerapkan untai matematika melibatkan anak-anak untuk dapat merencanakan, membuat keputusan, mengatur pekerjaan, membenarkan dan menginterpretasikan hasil dan memberikan alasan untuk kesimpulan mereka. Pertanyaan dan inti penyelidikan idealnya datang dari anak-anak, tetapi juga dapat disajikan oleh guru. Melalui diskusi, ketidakpastian dapat diselesaikan dan jalur baru dari penyelidikan dapat dikembangkan.
Yang terpenting adalah bahwa anak-anak dapat merumuskan jalur penyelidikan untuk mendukung pekerjaan mereka dan menunjukkan bagaimana mereka memunculkan rencana kerja dan bagaimana mereka bisa mengikuti rencana tersebut.Disini, guru memiliki peran penting  dalam membantu anak-anak untuk mengajukan pertanyaan, memilih informasi yang relevan dan membuat keputusan serta menentukan  penyelidikan.

Tabel 2.3 Kemajuan dalam tema penyelidikan dalam penggunaan dan penerapan untai matematika dari PNS dari Tahap Dasar untuk Tahun 6/7

Fondasi                     mengurutkan obyek, membuat pilihan dan membenarkan keputusan.

Tahun 1                       Menjawab pertanyaan dengan memilih dan menggunakan peralatan yang sesuai, dan memilah informasi, bentuk atau benda, menampilkan  hasil  menggunakan tabel dan gambar

Tahun 2          Mengikuti jalur penyelidikan, menjawab pertanyaan dengan memilih dan menggunakan peralatan yang sesuai serta menyeleksi, mengatur dan menyajikan informasi dalam daftar, tabel, dan diagram sederhana

Tahun 3                     Mengikuti jalur penyelidikan dengan memutuskan informasi apa yang penting, membuat dan menggunakan daftar, tabel dan grafik untuk mengatur dan menginterpretasikan informasi

Tahun 4          Menyarankan  penyelidikan dan strategi yang diperlukan untuk diikuti, mengumpulkan, mengatur dan menginterpretasikan informasi yang dipilah untuk menemukan jawaban

Tahun 5               Merencanakan dan melanjutkan penyelidikan, mengumpulkan bukti-bukti, mengatur dan menafsirkan informasi; menyarankan ekstensi untuk penyelidikan

Tahun 6           Menyarankan, merencanakan dan mengembangkan jalur penyelidikan, mengumpulkan, mengatur dan menyajikan informasi, menginterpretasikan hasil dan tinjauan metode, mengidentifikasi dan menjawab pertanyaan terkait

Tahun 6/7   Mengembangkan dan mengevaluasi jalur penyelidikan, mengidentifikasi, mengumpulkan, mengatur dan menganalisa informasi yang relevan, memutuskan cara terbaik untuk menyajikan  kesimpulan dan menyusun pertanyaan lebih lanjut

Sumber: DfES Renewing the Primary Frame Work for Mathematics Guidance Paper. Using Applying Mathematics London: DfES Publications, 2006b, p.3.

            Hal ini sangat mungkin bagi anak-anak untuk merumuskan pertanyaan yang ingin mereka ketahui jawabannya. Akan sangat membantu dengan menggunakan teknik K-W-L.

-          What do I Know? (Apa yang saya Tahu) (Apa pengetahuan awal siswa ').

-          What do I Want to know? (Apa yang saya Ingin tahu?) (Para siswa menetapkan tujuan belajar mereka).

-          What have I Learnt? (Apa yang telah saya pelajari?) (Para murid bercermin pada pelajaran mereka dan menunggu tantangan selanjutnya).

           Sebuah ilustrasi seperti jalur  penyelidikan terbuka adalah seorang anak menyelidiki penambahan bilangan ganjil dan genap. Anak:

·         tahu nama bilangan dari bilangan ganjil dan genap dan bahwa di sejumlah dua atau tiga digit, adalah digit unit yang menentukan apakah bilangan tersebut ganjil atau genap

·         ingin menemukan apa yang terjadi dengan hasil penambahan dua angka

·         mempelajari bahwa bilangan genap + bilangan genap = bilangan genap, bilangan genap + bilangan ganjil = bilangan ganjil, bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan genap.

            Anak kemudian dapat menyelidiki lebih lanjut untuk mencari tahu mengapa hal ini selalu terjadi. Menariknya, investigasi yang identik dibahas oleh Ofsted (2009, p.9), namun contohnya dianggap sebagai penyelidikan semu dimana guru telah membatasi dan mengidentifikasi aturan untuk kelas sehingga menciptakan pertanyaan tertutup. "Apakah bilangan ganjil dikurang bilangan ganjil memberikan jawaban bilangan ganjil atau bilangan genap?”  'Ini' berarti bahwa siswa tidak pernah terlibat dengan kemungkinan bahwa mungkin ada  aturan yang konsisten 'sehingga membatasi lingkup penyelidikan.Sangat sering terjadi, jika seorang anak mengidentifikasi satu hal yang tampaknya terkait dalam beberapa cara untuk memunculkan  pertanyaan, maka dia telah masuk ke dalam masalah. Mungkin ini bagian dari informasi yang tidak relevan dalam jangka panjang tetapi hanya menyediakan titik awal. Setelah berpikir tentang semua yang dia tahu, dia kemudian dapat mulai bertanya, 'apa yang saya ingin tahu? "Ini mungkin pada awalnya dengan bantuan guru.. Tabel, grafik, diagram dan daftar dapat digunakan untuk membantu dalam mengorganisasikan  informasi dan untuk membantu dengan organisasi dan interpretasi informasi ini. Akhirnya, setelah baik mencapai solusi atau mencapai titik di mana tidak ada kemajuan lebih lanjut, mungkin penting untuk memikirkan dan mendiskusikan apa yang telah dipelajari. Hal ini seringkali mengejutkan anak-anak, terutama ketika mereka telah gagal mencapai solusi lengkap. Refleksi ini mungkin menimbulkan pertanyaan lebih lanjut atau mungkin hanya menimbulkan perasaan bahwa waktu belum terbuang dan bahwa tingkat keberhasilan  telah dicapai.

            Mari kita mempertimbangkan topik geografis pada lingkungan dan sampah, dan pertanyaan yang diajukan oleh anak-anak. Apa yang dibuang oleh anak-anak di kelas kita? relatif mudah untuk menjawab. Berapa banyak dari setiap hal yang kita buang setiap minggu? memakan waktu lebih lama namun menimbulkan potensi yang cukup besar dalam hal matematika, sementara apa yang dilakukan Ratu dengan sampah nya? mungkin di luar lingkup sebagian besar ruang kelas meskipun solusi yang mungkin dicari melalui masukan dalam pelajaran keaksaraan dengan surat yang ditulis dengan baik.

            Anak-anak, jika mereka digunakan untuk menggunakan dan menerapkan matematika mereka, akan segera menemukan pertanyaan yang mudah dijawab, mereka yang sulit untuk menjawab dan mereka yang tidak mungkin untuk menjawab diberikan alat yang tersedia bagi mereka.

v  Representasi

            Tabel 2.4 menunjukkan perkembangan dalam tema yang merepresentasikan penggunaan dan penerapan untai matematika dari PNS dari Tahap Dasar untuk Tahun 6/7 (DfES, 2006b, p.3).

            Ide-ide matematika dapat disajikan dengan kata-kata, gambar, foto, benda-benda dan simbol. Mereka dapat dianggap sebagai 'alat kerja'  (DfES, 2006b, hal.8)dari aktivitas pemecahan masalah dimana anak-anak bergerak dari 'dunia nyata' ke dalam 'dunia matematika', dengan bantuan perhitungan, diagram, catatan atau grafik yang mereka pahami. Ini kemudian digunakan untuk menemukan solusi terhadap masalah matematika.

            Pemodelan masalah oleh anak-anak model masalah dalam hal matematika, memecahkan masalah dan kemudian menggunakan penalaran untuk kembali ke dunia nyata. Anak yang lebih tua juga harus mampu membuat prediksi, estimasi dan hipotesis.

            Anak-anak mungkin memodelkan masalah dalam berbagai cara, tetapi perlu didorong untuk mengembangkan strategi yang efektif untuk hal ini. Ini bisa melalui sesi pengajaran di mana anak-anak mengembangkan model matematika mereka sendiri berdasarkan situasi kehidupan nyata yang telah mereka amati.

            Grafik diambil dari Guidance Paper: Using and Applying (DfES, 2006b, p.9) jelas menunjukkan pergerakan dari 'dunia nyata' ke 'dunia matematika' dari pengakuan awal dari masalah, keputusan tentang bagaimana menyajikan dan menggunakan informasi yang tersedia, kegiatan pemecahan masalah dan kemudian sampai pada solusi. Lihat Gambar 2.3.

Tabel 2.4 Kemajuan dalam tema yang menyajikan penggunaan dan penerapan untai matematika dari PNS dari Tahap Dasar untuk Tahun 6/7

Dasar                    Mencocokkan sekelompok objek ke angka-angka yang mewakili jumlah objek

                                  Tahun 1                  Menggambarkan teka-teki atau masalah  menggunakan angka, bahan praktis dan diagram, menggunakan ini untuk memecahkan masalah dan mengatur solusi dalam konteks aslinya

                                  

Tahun 2                Mengidentifikasi dan merekam informasi atau perhitungan yang diperlukan untuk memecahkan teka-teki atau masalah, melaksanakan langkah-langkah atau perhitungan dan memeriksa solusi dalam konteks masalah

Tahun 3               Menyajikan  informasi dalam teka-teki atau masalah dengan menggunakan angka, gambar atau diagram, menggunakan ini untuk menemukan solusi dan menyajikannya dalam konteks, dengan menggunakan £ p notasi atau satuan ukuran yang tepat.

Tahun 4          Menyajikan teka-teki atau masalah dengan menggunakan kalimat nomor, pernyataan atau diagram, menggunakan ini untuk memecahkan masalah, menyajikan dan menafsirkan solusi dalam konteks masalah

Tahun 5            Menyajikan teka-teki atau masalah dengan mengidentifikasi dan merekam informasi atau perhitungan yang diperlukan untuk menyelesaikannya; menemukan solusi yang mungkin dan mengkonfirmasi ke dalam konteks masalah

Tahun 6     Mentabulasi informasi secara sistematis dalam teka-teki atau masalah, mengidentifikasi dan mencatat langkah-langkah atau perhitungan yang diperlukan untuk menyelesaikannya, dengan menggunakan simbol-simbol yang sesuai, menafsirkan solusi dalam konteks aslinya dan memeriksa kebenarannya.

Tahun 6/7            Menyajikan  informasi atau bilangan yang tidak diketahui dalam suatu masalah, misalnya dalam sebuah tabel, rumus atau persamaan, menjelaskan solusi dalam konteks masalah

Sumber: DfES Renewing the Primary Frame Work for Mathematics Guidance Paper. Using Applying Mathematics London: DfES Publications, 2006b, p.3.

               

                Gambar 2.3. Pemecahan masalah matematika bergerak antara dunia nyata dan dunia matematika. (Diambil dari DfES 2006b, p.9).

            Anak-anak tampaknya mampu memecahkan perhitungan seperti 112 ÷ 8 tapi perjuangan ketika dihadapkan dengan masalah kehidupan nyata seperti berapa banyak tabel untuk 8 dapat anda set dengan 112 gelas? Memang ini telah menjadi perhatian dari Ofsted dan juga diidentifikasi di Williams (DCSF, 2008, hal.69) bahwa sementara matematika diajarkan di sekolah pada 'usia yang tepat', kurangnya kesempatan untuk menerapkan dan menggunakan matematika berarti bahwa ketika anak-anak dihadapkan dengan masalah matematika di kehidupan nyata,  mereka tidak tahu apa yang harus dilakukan.

            Hal ini bertentangan langsung dengan temuan penelitian Nunes dan Bryant (1996) di Brazil yang menemukan bahwa anak-anak jalanan mampu memecahkan masalah di dunia nyata tapi berjuang ketika diberikan perhitungan formak tertulis  untuk  dipecahkan.

Hal ini dapat menjadi pemikiran bahwa ada masalah mendasar  yang disebut oleh PNS masalah 'dunia nyata'  yang dengan nyata dibuat-buat. Sulit untuk menyesuaikan kalimat 'dunia nyata' dengan tanda kurung yang memberi kesan hanya 'kepura-puraan' dunia nyata.

Jika ada 15 anak laki-laki dan 13 anak perempuan di kelas, berapa banyak buku latihan yang akan guru butuhkan jika setiap anak menggunakan 2? Ini digolongkan sebagai masalah 'dunia nyata' tapi benar-benar hanya masalah kata. Bandingkan ini dengan:

Apa cara terbaik untuk memotong lembaran karton (tanpa sisa) sehingga setiap anggota kelas memiliki basis kalender seukuran kertas A4?

Pada awal Desember, yang merupakan masalah nyata yang harus diselesaikan melibatkan pemahaman daerah, skala dan pengukuran panjang dengan kebutuhan untuk merekam informasi dan mencari solusi.

Lee (2006, hal.15) mencatat bahwa, masalah "dunia nyata" yang diperkenalkan dalam rangka untuk menunjukkan bahwa matematika dapat diakses, nyata dan jelas. Namun, kekuatan ide-ide matematika adalah bahwa matematika itu abstrak dan tidak kontekstual dan akan membantu siswa jika mereka menyadari hal ini . Anak-anak mungkin dapat diberikan akses ke masalah dunia nyata  yang menggunakan data nyata atau mereka mungkin diberikan masalah kata yang mungkin muncul untuk menjadi' nyata 'tetapi hasil sebenarnya pada anak-anak membawa pengalaman mereka sendiri.

Tentu saja ada tempat untuk masalah kata tetapi bekerja dengan cara yang kreatif dan lintas-kurikuler menyajikan banyak kesempatan untuk menggunakan masalah nyata dan benar-benar membutuhkan pemecahan.

v    Bagaimana mengembangkan karya matematika yang memberikan kesempatan pada anak untuk menggunakan dan menerapkan pengetahuan matematika, keterampilan dan pemahaman

            Billington et al. (1993) membagi penggunaan dan penerapan  matematika menjadi tiga wilayah yang berbeda: tugas-tugas praktis, masalah kehidupan nyata  dan penyelidikan dalam matematika itu sendiri. Ini merupakan pembedaan yang bermanfaat karena menunjukkan panduan tentang bagaimana dan di mana guru terbaik mungkin menanamkan menggunakan dan menerapkan matematika dalam setiap tingkatan.

·         Tugas-tugas praktis.Untaian dari pemahaman bentuk dan ruang dan pengukuran memberikan banyak kesempatan untuk menanamkan penggunaan dan penerapan matematika melalui tugas-tugas praktis.Sebagai contoh, pembuatan tempat  tidur dari Lego untuk tiga beruang atau merancang dan membangun sebuah model skala Parthenon akan menggabungkan tugas praktis dengan kesempatan untuk menggunakan dan menerapkan kerja matematika seperti pemahaman atribut bentuk, skala dan pengukuran 3-D.

·         Masalah kehidupan nyata.Mengurangi separuh atau menggandakan resep sebelum memanggang merupakan pekerjaan matematika, akan berpengaruh pada ukuran kue.

·         Penyelidikan dalam matematika itu sendiri. Menggunakan magic squares sebagai titik awal bagi suatu pembelajaran yang berfokus pada keterampilan mengenal dan menggunakan sejumlah fakta jelas sangat cocok dengan rencana untuk penyelidikan di dalam matematika itu sendiri.

v  Gaya mengajar

Preferensi gaya mengajar guru memiliki relevansi dengan mampu menyelesaikan masalah dengan anak-anak. Askew et al. (1997, p.24) membuat perbedaan antara keyakinan yang  dipegang oleh guru  sebagai berikut:

Koneksionis: pengajaran berhitung didasarkan pada dialog antara guru dan siswa untuk mengeksplorasi pemahaman. Menghitung melibatkan 'efisien dan efektif'. Hubungan antara berbagai bidang matematika yang penting dan harus dibuat eksplisit serta kesalahpahaman harus diakui dan dibahas dalam pelajaran, sehingga meningkatkan pemahaman.

Transmisi: pengajaran berhitung didasarkan pada penjelasan verbal sehingga siswa memahami metode guru. Pemecahan masalah muncul setelah mempelajari cara-cara kerja. Penekanan besar diberikan pada penggunaan metode kertas dan pensil dari kerja dan merekam, terkadang dengan mengorbankan efisiensi kerja.

Penemuan: pengajaran berhitung didasarkan pada kegiatan praktis sehingga siswa menemukan metode untuk diri mereka sendiri. "Apakah metode ini sangat efektif dan efisien tau tidak, tidak dianggap penting '(Askew et al 1997,. Hal.29). Lihat Tabel 2.5.

The NNS (1999) mendorong pengajaran transmisi. Ketiga bagian dari pembelajaran  terfokus pada pekerjaan lisan seluruh kelas dan perhitungan mental, diikuti dengan kegiatan pokok pengajaran  yang mencakup langsung seluruh kelas pengajaran, dan berakhir dengan pleno seluruh kelas. Penekanan ditempatkan pada meja belajar dan jumlah anak, berlatih strategi perhitungan mental yang berbeda sebelum memulai metode perhitungan yang lebih luas.

Tabel 2.5 Ringkasan dari tiga pokok gaya mengajar

Gaya mengajar                    Aplikasi

Koneksionis                         Didekati melalui tantangan yang membutuhkan penalaran

Transmisi                             Didekati melalui masalah 'kata': konteks untuk menghitung rutinitas

Penemuan                             Didekati melalui penggunaan peralatan praktis

Sumber: Diadaptasi dari Askew et al. Effective Teachers of Numeracy London: King College London, 1997, hal 32.

Sebelum NNS (1999b) banyak sekolah dasar merangkul topik kegiatan dimana matematika dapat dikaitkan.. Beberapa sekolah memilih untuk membiarkan semua anak bekerja berdasarkan kemampuan mereka sendiri, baik dari buku teks, buku kerja atau kartu-kerja. Kelas lain merangkul ide penemuan matematika di mana topik diperkenalkan melalui serangkaian penyelidikan dan anak-anak dibiarkan untuk bekerja pada bagian-bagian penting untuk diri mereka sendiri. Askew et al. (1997) menemukan bahwa guru yang paling efektif adalah mereka yang menggunakan pendekatan koneksionis. Guru-guru meyakini bahwa penting untuk membuat hubungan antara berbagai bidang matematika dan antara matematika di wilayah yang sama. Mereka menekankan pentingnya mengembangkan strategi perhitungan mental, seperti yang dilakukan NNS, dan mereka juga mengakui pentingnya bertanya untuk memungkinkan anak-anak melakukan verbalisasi penalaran mereka sendiri dan untuk membuang kesalahpahaman. Mereka juga menggunakan pendekatan yang mendorong kegiatan diskusi, di kelas secara keseluruhan, dalam kelompok-kelompok kecil atau  individu. Ini merupakan bentuk belajar aktif dengan ide-ide baru yang berdasarkan dan dikembangkan dari pemahaman yang ada.

            Para PNS (2006) menawarkan guru kerangka kerja yang kurang preskriptif. Namun, berbeda dengan NNS (1999b), hal ini lebih mendorong pada pendekatan koneksionis. Pelajaran yang direncanakan dalam blok, di berbagai bidang matematika dan guru didorong untuk menanamkan matematika dalam bidang kurikulum lainnya. Pentingnya menggunakan dan menerapkan matematika memungkinkan banyak ruang untuk penemuan matematika  meskipun dengan seorang guru yang memiliki pemahaman yang jelas tentang perannya untuk mempromosikan diskusi, mengidentifikasi kesalahpahaman dan memberikan kegiatan yang merangsang, sesuai dengan kegiatan dan tugas.

Oleh karena itu, ringkasnya, penggunaan dan penerapan matematika harus tertanam dalam pengajaran dan pembelajaran matematika dan dengan demikian harus menjadi bagian yang utuh  dari proses perencanaan dan penilaian (Williams 2008, Rose 2009a). Anak-anak perlu melihat bagaimana mereka dapat menggunakan apa yang telah mereka pelajari dan tahu bagaimana hal ini kemudian dapat diadaptasi dan diperluas dalam situasi baru, 'digabungkan menjadi "rantai" perhitungan, keputusan, penalaran dan komunikasi' (DfES, 2006b, hal. 8). Harus ada peluang di semua matematika, baik itu kekuatan utama dari pelajaran atau bagian singkat dari pleno untuk anak-anak dalam menggunakan dan menerapkan keterampilan matematika , pengetahuan dan pemahaman dengan cara baru.