Pembelajaran Kalkulus Menggunakan Program Geogebra

PEMBELAJARAN KALKULUS MENGGUNAKAN PROGRAM GEOGEBRA

Pendahuluan

Ø  Sekilas Tentang Kalkulus

Kalkulus (bahasa Latin: calculus, artinya’batu kecil’, untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki dua cabang ilmu utama yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti Paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

Paradoks Zeno, sekitar 450 SM,  merupakan sebuah paradoks yang terkenal dalam sejarah Yunani dan juga matematika. Achillesdan kura-kura ini salah satu dari 8 paradoks Zeno yang paling terkenal. Terkenal karena orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Walau sekarang terkesan tidak terlalu sulit, tapi butuh waktu ribuan tahun sebelum matematikawan dapat menjelaskannya. Paradoks Achilles dan kura-kura kira-kira seperti ini :

Pelari tercepat (A) tidak akan bisa mendahului pelari yang lebih lambat (B). Hal ini terjadi karena A harus berada pada titik B mula-mula, sementara B sudah meninggalkan (berada di depan) titik tersebut.

Zeno menganalogikan paradoks ini dengan membayangkan lomba lari Achilles dan seekor kura-kura. Keduanya dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura sudah tentu jauh lebih lambat. Untuk itu, si kura-kura diberi keuntungan dengan start awal di depan, katakanlah 100 meter. Ketika lomba sudah dimulai, Achilles akan mencapai titik 100 m (titik di mana kura-kura mula-mula). Tetapi si kura ini juga pasti sudah melangkah maju, jauh lebih lambat memang, katakanlah dia baru melangkah 10 meter. Beberapa saat kemudian Achilles berada di titik 110 m, tapi si kura lagi-lagi sudah melangkah maju. Demikian seterusnya, setiap kali Achilles berada pada titik di mana kura-kura tadinya berada, si kura-kura sudah melangkah maju. Artinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari tidak akan bisa mendahului kura-kura (selambat apa pun dia melangkah).

Sekitar 225 SM, Archimedes, seorang ahli fisika-matematika dari Syrakuse Sisilia, menggunakan metoda pendekatan integral untuk menghitung luas daerah lingkaran, luas daerah segmen parabola, mencari volume benda putar, serta luas permukaan elips.

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India , Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.  Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.

Penemuan tentang diferensial dan integral adalah puncak dari perkembangan matematika sepanjang sejarah, dan orang yang paling berjasa dalam mengembangkan kalkulus integral adalah George Friedereich Benhard Riemann (1826-1866), seorang matematikawan dari Gottingen Jerman.

Ø  Kesulitan dalam Mempelajari Kalkulus

Pembelajaran kalkulus telah sering dianggap bermasalah. Erni Puji Astuti, dalam penelitannya yang mengkaji tentang kesalahan-kesalahan dalam mempelajari kalkulus menyatakan bahwa beberapa penyebab kesulitan mempelajari kalkulus adalah kurangnya penguasaan terhadap konsep kalkulus. Dalam proses pembelajaran di kelas, guru berperan menyampaikan dan menjelaskan materi, agar dapat dipahami dan dikuasai oleh siswa. Namun perlu juga disadari bahwa kemampuan setiap siswa itu berbeda-beda. Hal ini dapat dilihat dari kurangnya keterlibatan siswa dalam kegiatan pembelajaran, hasil belajar yang belum optimal, dan juga antusiasme dan minat siswa dalam mengikuti kegiatan pembelajaran relatif kurang.

Mencermati hal ini, diperlukan suatu metode, strategi, atau media pembelajaran yang sesuai. Pemanfaatan media pembelajaran berbasis komputer dalam pembelajaran kalkulus sangat relevan mengingat  karakteristik materi kalkulus adalah benda-benda pikiran yang bersifat abstrak. Hal inilah yang sering menjadi penyebab kesulitan siswa dalam mempelajarinya. Dalam hal ini, media pembelajaran mempunyai peran yang strategis yang dapat memberikan pengalaman visual kepada siswa. Salah satu media pembelajaran yang relevan digunakan untuk membantu siswa dalam mempelajari kalkulus adalah programGeoGebra.

Ø  Program GeoGebra

Berbagai manfaat program komputer dalam pembelajaran matematika dikemukakan oleh Kusumah (2003). Menurutnya, program-program komputer sangat ideal untuk dimanfaatkan dalam pembelajaran konsep-konsep matematika yang menuntut ketelitian tinggi, konsep atau prinsip yang repetitif, penyelesaian grafik secara tepat, cepat, dan akurat. Lebih lanjut, Kusumah (2003) juga mengemukakan bahwa inovasi pembelajaran dengan bantuan komputer sangat baik untuk diintegrasikan dalam pembelajaran konsep-konsep matematika, terutama yang menyangkut transformasi geometri, kalkulus, statistika, dan grafik fungsi.

Salah satu program komputer yang dapat dimanfaatkan sebagai media pembelajaran matematika adalah program GeoGebra. GeoGebra dikembangkan oleh Markus Hohenwarter pada tahun 2001. Menurut Hohenwarter (2008), GeoGebra adalah program untuk membelajarkan matematika khususnya geometri dan aljabar. Program ini dapat dimanfaatkan secara bebas yang dapat diunduh dari www.geogebra.com.Program GeoGebra melengkapi berbagai program komputer untuk pembelajaran matematika yang sudah ada seperti, Derive, Maple, MuPad, dll.

GeoGebra untuk Kalkulus

            Toolbar GeoGebra, dengan bantuan terkait pada layar, membutuhkan sedikit waktu untuk mengasimilasi, terutama jika opsi dibatasi dengan menyesuaikan alat yang tersedia. Untuk tujuan kalkulus, kita tidak memerlukan circle tools atau symmetry tools, jadi ini bisa dihilangkan, tinggal tombol-tombol berikut (gambar 1):

 move     point       line           construct           measure

 

Gambar 1 : Tombol-tombol alat GeoGebra dapat disesuaikan untuk kalkulus

Perintah penting yang diperlukan untuk membangun gambar ilustrasi dinamis kalkulus ditunjukkan pada gambar 2.

Perintah-perintah ini ditunjukkan dalam pelajaran menggunakan GeoGebra untuk kalkulus di bawah ini dengan menggunakan huruf tebal. Selain itu, kita kadang-kadang akan membutuhkan slider untuk mengontrol nilai dari variabel aljabar (klik kanan pada variabel dan periksa ‘show object’). Hal ini tentu saja untuk mempercantik gambar dengan memperkenalkan warna, gaya garis, mengubah ukuran font, menampilkan (atau tidak menampilkan) label, semua dengan menu ‘properties’ (klik kanan ‘object’, kemudian ‘properties’)

New point

Line through two points

 

 

Tangents                  Locus

 Slope

 

Gambar 2: Perangkat GeoGebra yang diperlukan untuk kalkulus

Pelajaran dalam Kalkulus Menggunakan GeoGebra

            Pada bagian ini, akan diberikan garis besar pembelajaran kalkulus menggunakan GeoGebra melalui menggambarkan urutan pelajaran dalam diferensiasi. Bagian ini diakhiri dengan diskusi tentang integral melalui daerah fungsi.

Ø  Pelajaran 1: Gradien Garis

Dengan membangun dua titik baru(new point)A dan B, kita kemudian dapat membangun garis melalui titik baru(line through new point)AB, mengukur (measure) kemiringan AB, dan melihat bagaimana perilaku ini untuk posisi yang berbeda dari A dan B. Namun, daripada memanfaatkan alat siap pakai, mungkin lebih bermanfaat untuk memasukkan(y(B) – y(A))/(x(B) – x(A)) (hati-hati dengan tanda kurung), dan membuat new tool (tools menu) yang disebut gradient dengan input A dan B dan output gradien m. Dengan demikian perumusan aljabar diperkuat.

Ø  Pelajaran 2: Gradien Kurva

Apa perbedaan antara suatu garis lurus dan suatu kurva? Apa yang kita maksud dengan gradien suatu kurva? Bisakah kita menemukan hubungan antara posisi pada kurva dan gradien?

Menyelidiki pertanyaan-pertanyaan ini dalam GeoGebra tidak dapat lebih alami. Kita perlu untuk mengetahui bagaimana membuat sebuah fungsi f(x) = x² dengan memasukkan (inputting) f(x) = x^2. Kita perlu menempatkan sebuah titik(point) pada kurva, membangun (construct) tangen dan mengukur(measure) gradiennya ( yaitu kemiringan / slope). Dengan memindahkan (moving) titik di sekitar kurva, kita amati bahwa gradien adalah dua kali koordinat-x. Dengan mengubah f(x), misalnya, 2 x^2, k x^2, x^3, x^n, dst, kita dapat mengamati aturan-aturan menghubungkan gradien dengan koordinat-x, dan menemukan kembali rumus nx^n-1.

Ø  Pelajaran 3: Gradien Fungsi atau Derivatif

Dengan melihat bagaimana gradien bervariasi dengan koordinat-x, kita telah membangun gradien fungsi, yang kita sebut derivatif. Dapatkah kita menunjukkan fungsi ini dengan cara grafik? Kita mempunyai koordinat-x, x(A) dan gradien m, jadi, mari kita menentukan titik B dengan koordinat (x(A), m) dengan memasukkan B = (x(A), m).

Titik B muncul, dan dengan membangun jejak B (klik kanan, trace on), seperti kita menggerakkan (move) A, kita melihat gradien fungsi muncul. Tombol undo (kanan atas) menghapus ini, dan sekarang kita dapat membangun (construct) locus untuk menampilkan fungsi ini lebih permanen – ubah f (klik ganda di atas move) dan gradien fungsi berubah dengan sesuai.

Pada titik ini, kita dapat menyelidiki sifat dari gradien fungsi. Bagaimana perubahannya jika kita menggandakan f atau menambahkan nilai konstan ke f? Kita juga bisa memperkenalkan beberapa notasi formal untuk gradien fungsi, katakanlah f’(x) atau dy/dx.

Lebih lanjut kita perlu mentransfer ide-ide yang kita kembangkan dari layar komputer ke kertas, dan mengembangkan keterampilan-keterampilan dalam membedakan fungsi polinom dengan beberapa pekerjaan latihan konvensional. Kita dapat menggunakan GeoGebra untuk mengecek jawaban dengan memasukkan f(x) dan f’(x) dan kemudian mengamati apakah cocok.

Ø  Pelajaran  4: Diferensiasi dari Prinsip Pertama

Sejauh ini, penulis telah menggunakan pemodelan GeoGebra untuk melakukan penyelidikan ilmiah. Dalam rangka untuk mengubah penemuan mereka ke dalam ilmu matematika, diperlukan bukti. Sementara siswa mungkin merasa puas, setelah satu jam atau lebih melihat layar, untuk mengambil kata GeoGebra, atau imagenya, bahwa turunan dari xⁿ adalah nx^n-1, guru perlu melampaui representasi bergambar dari objek pada layar komputer, dan memberikan siswa pemahaman ke dalam proses aljabar yang menetapkan hasil ini.

Untuk ini, pensil dan kertas, dan fasilitas dengan keterampilan manipulasi aljabar tertentu, seperti perluasan tanda kurung, sangat penting, dan GeoGebratidak akan membantu pelajar untuk mendapatkan ini. Namun, kemampuan untuk memasukan ekspresi aljabar dalam bentuk yang dapat dikenali dapat meningkatkan kemudahan mentransfer ide-ide dari kertas ke layar komputer. Selain itu, memiliki gambar dinamis dari suatu garis mendekati tangen, yang dengan mudah dibangun dari garis awal, muncul untuk meningkatkan kemampuan kita untuk memvisualisasikan proses limit ini.

          Dalam rangka membangun ini, akan sangat membantu untuk dapat mengontrol titik menggunakan keyboard daripada mouse. Jadi, kita mulai, dengan memasukkan (inputting) f(x) = x^2, a = 1, dan A = (a, f(a)). Sekarang kita mempunyai tiga cara mengendalikan posisi A pada kurva, baik dengan slider (klik kanan pada a=1, kemudian show object) atau dengan memilih a dan menggunakan tombol panah, atau dengan mengklik ganda pada a dan mngubah nilainya. Kemudian kita masukkan h = 1, show object, dan, pada properties, sesuaikan slider dari 0 ke 1 dalam langkah 0.01. ‘h’ ini akan menjadi penambahan kecil pada x, atau ∆x. Kemudian kita masukkan B = (a + h, f(a + h)), buat sebuah garis melalui AB, dan bangun tangen di kurva pada A. Sekarang kita dapat melihat garis AB mendekati tangen pada A sebagai h sampai ke nol (Gambar 3).

 

          Gambar 3: Garis AB mendekti tangen pada A ketika h mendekati nol

          Dengan a = 1, kita dapat mengukur (measure) gradien (slope) dari garis tangen, yaitu 2. Kita juga dapat menggunakan slope untuk mengukur gradien dari PQ, tetapi kita tahu bagaimana melakukan ini dengan memasukkan m = (f(a + h) – f(a))/h.

          Kita dapat melihat m mendekati 2 seperti h mendekati nol. Bahkan menghilang ketika h = 0!. Pada titik ini, siswa membutuhkan pensil dan kertas untuk melakukan ekspansi aljabar dari , diikuti dengan, . Kurva tentu saja dapat berubah, dengan tetap menjaga struktur diagramnya, dengan mengedit fungsi f. Dalam hal ini tidak ada yang tidak dapat dilakukan menggunakan Autograph atau paket geometri dinamis lainnya. Namun, itu adalah penjelasan logis dari layar Geogebra dan sinergi antara jendela geometri dan aljabar yang membantu, berdasarkan pemikiran penulis, untuk memperkuat pemahaman tentang perumusan aljabar dan geometri dari proses limit. Melalui pelajaran keempat ini, kita telah meletakkan dasar-dasar kalkulus diferensial, seperti yang diterapkan pada fungsi polinom.

 

Ø  Pelajaran 5: Turunan Fungsi Trigonometri

GeoGebra dapat dengan mudah membangun,  atau membuat kembali, grafik sin x dan  cos x sebagai fungsi dari sudut yang dibentuk oleh jari-jari lingkaran OP dari lingkaran dengan sumbu x dan koordinat y dan koordinat x dari P. (lihat gambar 4).

Gambar 4:membangun grafik cos(x) menggunakan unit circle

Pertama, kita menambah perangkat GeoGebra dengan circle tool. Kita membangun sebuah lingkaran (circle) dengan pusat (0,0) dan jari-jari 1 satuan, tempatkan titik (point) P pada lingkaran dan titik (point) A pada (1,0). Kemudian ukur (measure) sudut AOP (dengan nama α), pertama mengubah sudut ke radian (options). Tentukan titik Q =(α, x(P)), dan jejak Q sebagai P bergerak (moves) mengitari lingkaran. Untuk melacak sinus, ganti nama Q menjadi =(α, x(P)). Sayangnya, kita tidak dapat dengan mudah memperpanjang jejak ini ke sudut diluar domain 0 ke 2π, tetapi ini mungkin poin diskusi yang berguna.

Apa itu turunan dari suatu fungsi? Kita dapat melihat dengan membuat gambar dari pelajaran 2 untuk fungsi f(x) = sin(x). Kesamaan dari kedua jejak dalam gambar 4 dan 5 agak mengejutkan, dan mengundang pertanyaan apa turunan dari cos(x) mungkin!

Gambar 5 : jejak dari turunan sin(x)

Sekarang kita bisa, tentu saja,  meninjau kembali dari pelajaran 3 dan 4 menggunakan trigonometri bukan fungsi polinom. Sebuah pendekatan yang cepat disini mungkin untuk mendefinisikan f dan h(dengan slider dari 0 ke 1 dalam langkah 0.01 seperti sebelumnya), dan kemudian input g(x) = (f(x + h) – f(x))/h. Amati kemudian apa limit dari fungsi g adalah sebagai h mendekati 0. Hal ini akan bekerja sebagai jalan untuk menyelidiki turunan dari setiap fungsi visual.

Bagaimana dengan bukti? Ini memerlukan penggunaan sudut gabungan atau rumus faktor, bersama dengan limit dari sin(h) dan cos(h) sebagai h mendekati nol, untuk membentuk, tetapi membentuk turunan  sebagai limit  dari g sebagai h mendekati nol dapat membantu untuk mendukung perluasan dari sin(A + B) dan cos(A + B).

Ø  Pelajaran 6: Fungsi Eksponensial

Sebuah pendekatan yang sangat mirip mungkin diadopsi untuk membentuk turunan dari fungsi eksponensial dan menentukan nilai dari e. Pertama, kita perlu mendefinisikan variabel basis a. Jejak dari gradien fungsi menunjukkan bahwa ketika a dekat ke 3, turunannya dekat ke fungsi a^x (lihat gambar 6).

Dengan merencanakan lokus dari Q (bukan jejaknya), siswa dapat menyelidiki nilai dari a dengan akurasi yang lebih besar. 

Gambar 6 : menemukan turunan dari a^x dan memperkirakan nilai e

Ø  Pelajaran 7: Integrasi

Menentukan daerah fungsi sebagai invers dari turunan menggunakan GeoGebra bergantung pada menggunakan fungsi uppersum dan lowersum. Namun, kita awalnya bisa menyelidiki daerah di bawah f(x) = xdengan menelusuri daerah poligon (atau segitiga) di bawah kurva (lihat gambar 7).

Untuk gambar ini, kita inputf(x) = x, buat titik (point) O dan A pada sumbu x, dan inputP = (x(A), f(x(A))). Bangun polygon AOP (daerah standar dihitung, dilambangkan oleh poly 1), dan kemudian input titik Q = (x(A), poly1). Jejak dari Q sebagai A bergerak pada sumbu x dapat dilihat menjadi fungsi g(x) = ½ x². Hal ini dengan mudah dibuktikan sebagai daerah dari segitiga AOP. Sebagai poligon yang bermata lurus, kita perlu menetapkan ide mendekati daerah di bawah kurva menggunakan persegi panjang. Pada gambar 8, fungsi f(x) = x, dan limit a dan b diinput dengan nilai awal 1 dan 2, jumlah persegi panjang  diinput sebagai n, dengan nilai-nilai dari 0 sampai 200. Kemudian masukkan U = Uppersum [f, a, b, n] dan L = Lowersum [f, a, b, n]  dan amati bagaimana U  dan L saling mendekati  saat n bertambah.

Gambar 7: menemukan integral dengan menelusuri daerah suatu poligon

Gambar 8: uppersum dan lowersum saling mendekati sebagai n yang semakin besar

Dengan pengaturan kembali nilai n sebagai1000, sebagai contoh, telah dirancang sebuah daerah perkiraan kalkulator, dan penelusuran, atau menemukan lokus, dari titik Q = (x(B),U) akan membuat ‘daerah sejauh’ fungsi. Hal ini pada gilirannya dapat digunakan dengan f(x) = 1/x untuk membuat fungsi ln x (lihat gambar 9)

Gambar 9: memperkirakan ln(x) menggunakan uppersum ketika n=1000.

Kesimpulan

            Bab ini menguraikan suatu model dasar pendekatan untuk kalkulus menggunakan GeoGebra. Diferensiasi diperkenalkan dengan menyelidiki gradien dari pergerakan garis tangen, membangun gradien fungsi sebagai trace atau lokus, dan menggambarkan turunan sebagai limit dari gradien suatu garis. Tahapan-tahapan ini dapat diikuti pada awalnya untuk fungsi polinom dan diperpanjang untuk mengembangkan hasil bagi fungsi trigonometri dan eksponensial.

            Sebuah pendekatan untuk integral Riemann juga diusulkan, meskipun sedikit, menggunakan fungsi poligon untuk menyelidiki daerah di bawah f(x) = x, menggunakan fungsi Uppersum dan Lowersum untuk mengembangkan fungsi daerah perkiraan. Meskipun dimungkinkan untuk  mengembangkan kalkulus dengan cara yang sama melalui kumpulan grafik atau paket geometri interaktif lainnya, diungkapkan bahwa ada keuntungan dalam menggunakan GeoGebra, yaitu:

-          Kemudahan dan aksesibilitas perangkat lunak;

-          Kemudahan penggunaan program: menu, options, dan on-screen membantu guru sehingga tidak perlu menghabiskan waktu dalam mempelajari bagaimana menggunakan perangkat lunak;

-          Langkah-langkah dalam membuat gambar dapat dideskripsikan hanya dengan menggunakan kata-kata kunci seperti point, input, construct, measure;

-          Input dari ekspresi aljabar dekat dengan yang digunakan dalam pekerjaan menggunakan pen dan kertas, sehingga memperkuat hubungan antara aspek geometri dan aljabar dari kalkulus.

Meskipun geometri interaktif dapat menjadi sarana ampuh untuk mengatasi hambatan dalam mempelajari kalkulus, penting untuk menjaga model berbasis pendekatan dalam perspektif. Ini tidak akan, dan memang tidak bisa, menggantikan kebutuhan siswa untuk menguasai keterampilan tertentu proses aljabar. Terdapat juga aspek pengajaran dan pembelajaran kalkulus, seperti teknik diferensiasi (hasil, kecerdasan, dan aturan rantai).

Bagi penulis, aspek yang paling menarik dari pemodelan kalkulus menggunakan GeoGebra adalah bahwa hal itu muncul untuk menyediakan siswa dengan perangkat yang ampuh untuk meneliti, dan menciptakan kembali, hasil untuk mereka sendiri, dan dengan demikian, meningkatkan kedalaman pemahaman mereka diluar pencapaian dengan pendekatan tradisional, dimana konsep dan hasil disajikan sebagai fakta dan aturan yang harus dipelajari. Kesenjangan antara intuisi dan teori sangat luas dalam kalkulus, dan dalam GeoGebra, siswa memiliki perangkat yang baik untuk menjembatani kesenjangan ini.

Daftar Pustaka

Boyer, C. (1985). A history of mathematics. Princeton, NJ, Princeton University Press.

Butler, D. & Hatsell, M. (2003). Autograph version 3. Cambridge, Eastman Publishing.

Clements, C., Pantozzi, R., & Steketee, S. (2002). Exploring calculus with the geometer’s sketchpad, Emeryville, Ca, Key Curriculum Press.

Cuban, L. (2001). Oversold and underused: Computers in the classroom. Cambridge, Mass, Harvard University Press.

Dubinsky, E. (1991). Reflective abstraction in advanced mathematical thinking. In D. Tall (Ed.) Advanced Mathematical Thinking (pp. 95–126). Dordrecht: Kluwer.

Fischer Trust (2004). High impact ICT resources - Secondary mathematics [online]. Retrieved January 15, 2010, from: http://www.fischertrust.org/downloads/ict/Report_Sec_Maths.pdf

Little, C. (2008). Interactive geometry in the classroom: old barriers and new opportunities. British Society For Research into Learning Mathematics, 28, 49–54.

O’Connor, J., & Robertson, E. (1996). A history of the calculus [online]. Retrieved January 15, 2010, from: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1–36.

Chris Little Mathematics teacher, Hampshire UK Formerly Executive Director, School Mathematics Project, England