PEMBELAJARAN
KALKULUS MENGGUNAKAN PROGRAM GEOGEBRA
Pendahuluan
Ø Sekilas Tentang Kalkulus
Kalkulus (bahasa
Latin: calculus, artinya’batu kecil’, untuk menghitung) adalah cabang ilmu
matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takhingga.
Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu
mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan
persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki dua cabang ilmu utama yaitu
kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui
teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju
pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi
dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Sir Isaac Newton
adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal.
Kalkulus juga
digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu,
dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha
memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah
dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh
terkenal seperti Paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang
limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks
tersebut.
Paradoks Zeno, sekitar
450 SM, merupakan sebuah paradoks yang terkenal dalam sejarah Yunani dan juga matematika. Achillesdan kura-kura ini salah satu dari 8 paradoks
Zeno yang paling terkenal. Terkenal karena orang Yunani gagal menjelaskan
paradoks ini. Walau sekarang terkesan tidak terlalu sulit, tapi butuh waktu
ribuan tahun sebelum matematikawan dapat menjelaskannya. Paradoks Achilles dan
kura-kura kira-kira seperti ini :
Pelari tercepat (A) tidak akan bisa
mendahului pelari yang lebih lambat (B). Hal ini terjadi karena A harus berada
pada titik B mula-mula, sementara B sudah meninggalkan (berada di depan) titik
tersebut.
Zeno menganalogikan
paradoks ini dengan membayangkan lomba lari Achilles dan seekor kura-kura.
Keduanya dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura sudah tentu jauh
lebih lambat. Untuk itu, si kura-kura diberi keuntungan dengan start awal di
depan, katakanlah 100 meter. Ketika lomba sudah dimulai, Achilles akan mencapai
titik 100 m (titik di mana kura-kura mula-mula). Tetapi si kura ini juga pasti
sudah melangkah maju, jauh lebih lambat memang, katakanlah dia baru melangkah
10 meter. Beberapa saat kemudian Achilles berada di titik 110 m, tapi si kura
lagi-lagi sudah melangkah maju. Demikian seterusnya, setiap kali Achilles
berada pada titik di mana kura-kura tadinya berada, si kura-kura sudah
melangkah maju. Artinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari tidak akan bisa
mendahului kura-kura (selambat apa pun dia melangkah).
Sekitar 225 SM, Archimedes,
seorang ahli fisika-matematika dari Syrakuse Sisilia, menggunakan metoda
pendekatan integral untuk menghitung luas daerah lingkaran, luas daerah segmen
parabola, mencari volume benda putar, serta luas permukaan elips.
Walau beberapa konsep
kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India ,
Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad
ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip
dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat
terhadap perkembangan fisika. Aplikasi
kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan
suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi
perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan.
Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Penemuan tentang
diferensial dan integral adalah puncak dari perkembangan matematika sepanjang
sejarah, dan orang yang paling berjasa dalam mengembangkan kalkulus integral
adalah George Friedereich Benhard Riemann (1826-1866), seorang matematikawan
dari Gottingen Jerman.
Ø Kesulitan dalam Mempelajari Kalkulus
Pembelajaran kalkulus
telah sering dianggap bermasalah. Erni Puji Astuti, dalam penelitannya yang
mengkaji tentang kesalahan-kesalahan dalam mempelajari kalkulus menyatakan
bahwa beberapa penyebab kesulitan mempelajari kalkulus adalah kurangnya penguasaan
terhadap konsep kalkulus. Dalam proses pembelajaran di kelas, guru berperan
menyampaikan dan menjelaskan materi, agar dapat dipahami dan dikuasai oleh
siswa. Namun perlu juga disadari bahwa kemampuan setiap siswa itu berbeda-beda.
Hal ini dapat dilihat dari kurangnya keterlibatan siswa dalam kegiatan
pembelajaran, hasil belajar yang belum optimal, dan juga antusiasme dan minat siswa
dalam mengikuti kegiatan pembelajaran relatif kurang.
Mencermati hal ini,
diperlukan suatu metode, strategi, atau media pembelajaran yang sesuai.
Pemanfaatan media pembelajaran berbasis komputer dalam pembelajaran kalkulus
sangat relevan mengingat karakteristik
materi kalkulus adalah benda-benda pikiran yang bersifat abstrak. Hal inilah
yang sering menjadi penyebab kesulitan siswa dalam mempelajarinya. Dalam hal
ini, media pembelajaran mempunyai peran yang strategis yang dapat memberikan
pengalaman visual kepada siswa. Salah satu media pembelajaran yang relevan
digunakan untuk membantu siswa dalam mempelajari kalkulus adalah programGeoGebra.
Ø Program GeoGebra
Berbagai manfaat
program komputer dalam pembelajaran matematika dikemukakan oleh Kusumah (2003).
Menurutnya, program-program komputer sangat ideal untuk dimanfaatkan dalam
pembelajaran konsep-konsep matematika yang menuntut ketelitian tinggi, konsep
atau prinsip yang repetitif, penyelesaian grafik secara tepat, cepat, dan
akurat. Lebih lanjut, Kusumah (2003) juga mengemukakan bahwa inovasi
pembelajaran dengan bantuan komputer sangat baik untuk diintegrasikan dalam pembelajaran
konsep-konsep matematika, terutama yang menyangkut transformasi geometri,
kalkulus, statistika, dan grafik fungsi.
Salah satu program
komputer yang dapat dimanfaatkan sebagai media pembelajaran matematika adalah
program GeoGebra. GeoGebra dikembangkan oleh Markus Hohenwarter pada tahun
2001. Menurut Hohenwarter (2008), GeoGebra adalah program untuk membelajarkan
matematika khususnya geometri dan aljabar. Program ini dapat dimanfaatkan
secara bebas yang dapat diunduh dari www.geogebra.com.Program GeoGebra melengkapi berbagai program komputer
untuk pembelajaran matematika yang sudah ada seperti, Derive, Maple, MuPad,
dll.
GeoGebra
untuk Kalkulus
Toolbar GeoGebra,
dengan bantuan terkait pada layar, membutuhkan sedikit waktu untuk
mengasimilasi, terutama jika opsi dibatasi dengan menyesuaikan alat yang
tersedia. Untuk tujuan kalkulus, kita tidak memerlukan circle tools atau
symmetry tools, jadi ini bisa dihilangkan, tinggal tombol-tombol berikut (gambar
1):
move point line construct measure
Gambar 1 : Tombol-tombol alat GeoGebra dapat disesuaikan
untuk kalkulus
Perintah penting yang diperlukan untuk membangun gambar
ilustrasi dinamis kalkulus ditunjukkan pada gambar 2.
Perintah-perintah ini ditunjukkan dalam pelajaran
menggunakan GeoGebra untuk kalkulus di bawah ini dengan menggunakan huruf
tebal. Selain itu, kita kadang-kadang akan membutuhkan slider untuk mengontrol
nilai dari variabel aljabar (klik kanan pada variabel dan periksa ‘show
object’). Hal ini tentu saja untuk mempercantik gambar dengan memperkenalkan
warna, gaya garis, mengubah ukuran font, menampilkan (atau tidak menampilkan)
label, semua dengan menu ‘properties’ (klik kanan ‘object’, kemudian ‘properties’)
New point
Line through two points
Tangents Locus
Slope
Gambar 2: Perangkat GeoGebra yang diperlukan untuk kalkulus
Pelajaran
dalam Kalkulus Menggunakan GeoGebra
Pada
bagian ini, akan diberikan garis besar pembelajaran kalkulus menggunakan GeoGebra
melalui menggambarkan urutan pelajaran dalam diferensiasi. Bagian ini diakhiri
dengan diskusi tentang integral melalui daerah fungsi.
Ø Pelajaran
1: Gradien Garis
Dengan membangun dua titik
baru(new point)A dan B, kita
kemudian dapat membangun garis melalui titik baru(line through new point)AB, mengukur (measure) kemiringan AB, dan melihat bagaimana perilaku ini untuk posisi
yang berbeda dari A dan B. Namun, daripada memanfaatkan alat siap pakai,
mungkin lebih bermanfaat untuk memasukkan(y(B) – y(A))/(x(B) – x(A)) (hati-hati
dengan tanda kurung), dan membuat new
tool (tools menu) yang disebut gradient
dengan input A dan B dan output gradien m. Dengan demikian perumusan aljabar
diperkuat.
Ø Pelajaran
2: Gradien Kurva
Apa perbedaan antara
suatu garis lurus dan suatu kurva? Apa yang kita maksud dengan gradien suatu
kurva? Bisakah kita menemukan hubungan antara posisi pada kurva dan gradien?
Menyelidiki
pertanyaan-pertanyaan ini dalam GeoGebra tidak dapat lebih alami. Kita perlu
untuk mengetahui bagaimana membuat sebuah fungsi f(x) = x2 dengan memasukkan
(inputting) f(x) = x^2. Kita perlu
menempatkan sebuah titik(point) pada
kurva, membangun (construct) tangen
dan mengukur(measure) gradiennya (
yaitu kemiringan / slope). Dengan
memindahkan (moving) titik di
sekitar kurva, kita amati bahwa gradien adalah dua kali koordinat-x. Dengan
mengubah f(x), misalnya, 2 x^2, k x^2, x^3, x^n, dst, kita dapat mengamati
aturan-aturan menghubungkan gradien dengan koordinat-x, dan menemukan kembali
rumus nxn-1.
Ø Pelajaran
3: Gradien Fungsi atau Derivatif
Dengan melihat
bagaimana gradien bervariasi dengan koordinat-x, kita telah membangun gradien
fungsi, yang kita sebut derivatif. Dapatkah kita menunjukkan fungsi ini dengan
cara grafik? Kita mempunyai koordinat-x, x(A) dan gradien m, jadi, mari kita
menentukan titik B dengan koordinat (x(A), m) dengan memasukkan B = (x(A), m).
Titik B muncul, dan
dengan membangun jejak B (klik kanan, trace
on), seperti kita menggerakkan (move)
A, kita melihat gradien fungsi muncul. Tombol undo (kanan atas) menghapus ini, dan sekarang kita dapat membangun
(construct) locus untuk menampilkan fungsi ini lebih permanen – ubah f (klik
ganda di atas move) dan gradien
fungsi berubah dengan sesuai.
Pada titik ini, kita
dapat menyelidiki sifat dari gradien fungsi. Bagaimana perubahannya jika kita
menggandakan f atau menambahkan nilai konstan ke f? Kita juga bisa
memperkenalkan beberapa notasi formal untuk gradien fungsi, katakanlah f’(x)
atau dy/dx.
Lebih lanjut kita
perlu mentransfer ide-ide yang kita kembangkan dari layar komputer ke kertas,
dan mengembangkan keterampilan-keterampilan dalam membedakan fungsi polinom
dengan beberapa pekerjaan latihan konvensional. Kita dapat menggunakan GeoGebra
untuk mengecek jawaban dengan memasukkan f(x) dan f’(x) dan kemudian mengamati
apakah cocok.
Ø Pelajaran 4: Diferensiasi dari Prinsip Pertama
Sejauh ini, penulis
telah menggunakan pemodelan GeoGebra untuk melakukan penyelidikan ilmiah. Dalam
rangka untuk mengubah penemuan mereka ke dalam ilmu matematika, diperlukan
bukti. Sementara siswa mungkin merasa puas, setelah satu jam atau lebih melihat
layar, untuk mengambil kata GeoGebra, atau imagenya, bahwa turunan dari xn
adalah nxn-1, guru perlu melampaui representasi bergambar dari objek
pada layar komputer, dan memberikan siswa pemahaman ke dalam proses aljabar
yang menetapkan hasil ini.
Untuk ini, pensil dan
kertas, dan fasilitas dengan keterampilan manipulasi aljabar tertentu, seperti
perluasan tanda kurung, sangat penting, dan GeoGebratidak akan membantu pelajar
untuk mendapatkan ini. Namun, kemampuan untuk memasukan ekspresi aljabar dalam
bentuk yang dapat dikenali dapat meningkatkan kemudahan mentransfer ide-ide
dari kertas ke layar komputer. Selain itu, memiliki gambar dinamis dari suatu
garis mendekati tangen, yang dengan mudah dibangun dari garis awal, muncul
untuk meningkatkan kemampuan kita untuk memvisualisasikan proses limit ini.
Dalam rangka membangun ini, akan
sangat membantu untuk dapat mengontrol titik menggunakan keyboard daripada
mouse. Jadi, kita mulai, dengan memasukkan (inputting) f(x) = x^2, a = 1, dan A = (a, f(a)). Sekarang kita
mempunyai tiga cara mengendalikan posisi A pada kurva, baik dengan slider (klik
kanan pada a=1, kemudian show object) atau dengan memilih a dan menggunakan tombol
panah, atau dengan mengklik ganda pada a dan mngubah nilainya. Kemudian kita
masukkan h = 1, show object, dan, pada properties, sesuaikan slider dari 0 ke 1
dalam langkah 0.01. ‘h’ ini akan menjadi penambahan kecil pada x, atau ∆x. Kemudian
kita masukkan B = (a + h, f(a + h)), buat sebuah garis melalui AB, dan bangun
tangen di kurva pada A. Sekarang kita dapat melihat garis AB mendekati tangen
pada A sebagai h sampai ke nol (Gambar 3).
Gambar
3: Garis AB mendekti tangen pada A ketika h mendekati nol
Dengan a = 1, kita dapat mengukur (measure) gradien (slope) dari garis tangen, yaitu 2. Kita juga dapat menggunakan slope untuk mengukur gradien dari PQ,
tetapi kita tahu bagaimana melakukan ini dengan memasukkan m = (f(a + h) – f(a))/h.
Kita dapat melihat m mendekati 2
seperti h mendekati nol. Bahkan menghilang ketika h = 0!. Pada titik ini, siswa
membutuhkan pensil dan kertas untuk melakukan ekspansi aljabar dari
, diikuti dengan,
. Kurva tentu saja
dapat berubah, dengan tetap menjaga struktur diagramnya, dengan mengedit fungsi
f. Dalam hal ini tidak ada yang tidak dapat dilakukan menggunakan Autograph
atau paket geometri dinamis lainnya. Namun, itu adalah penjelasan logis dari
layar Geogebra dan sinergi antara jendela geometri dan aljabar yang membantu,
berdasarkan pemikiran penulis, untuk memperkuat pemahaman tentang perumusan
aljabar dan geometri dari proses limit. Melalui pelajaran keempat ini, kita
telah meletakkan dasar-dasar kalkulus diferensial, seperti yang diterapkan pada
fungsi polinom.
Ø Pelajaran
5: Turunan Fungsi Trigonometri
GeoGebra dapat dengan
mudah membangun, atau membuat kembali,
grafik sin x dan cos x sebagai fungsi
dari sudut yang dibentuk oleh jari-jari lingkaran OP dari lingkaran dengan
sumbu x dan koordinat y dan koordinat x dari P. (lihat gambar 4).
Gambar 4:membangun grafik cos(x) menggunakan unit circle
Pertama, kita menambah
perangkat GeoGebra dengan circle tool. Kita membangun sebuah lingkaran (circle) dengan pusat (0,0) dan
jari-jari 1 satuan, tempatkan titik (point)
P pada lingkaran dan titik (point) A
pada (1,0). Kemudian ukur (measure)
sudut AOP (dengan nama α), pertama mengubah
sudut ke radian (options). Tentukan
titik Q =(α, x(P)), dan jejak Q
sebagai P bergerak (moves) mengitari
lingkaran. Untuk melacak sinus, ganti nama Q menjadi =(α, x(P)). Sayangnya, kita tidak dapat dengan mudah
memperpanjang jejak ini ke sudut diluar domain 0 ke 2Ï€, tetapi ini mungkin poin
diskusi yang berguna.
Apa itu turunan dari
suatu fungsi? Kita dapat melihat dengan membuat gambar dari pelajaran 2 untuk
fungsi f(x) = sin(x). Kesamaan dari kedua jejak dalam gambar 4 dan 5 agak
mengejutkan, dan mengundang pertanyaan apa turunan dari cos(x) mungkin!
Gambar 5 : jejak dari
turunan sin(x)
Sekarang kita bisa,
tentu saja, meninjau kembali dari
pelajaran 3 dan 4 menggunakan trigonometri bukan fungsi polinom. Sebuah
pendekatan yang cepat disini mungkin untuk mendefinisikan f dan h(dengan slider
dari 0 ke 1 dalam langkah 0.01 seperti sebelumnya), dan kemudian input g(x) = (f(x + h) – f(x))/h. Amati
kemudian apa limit dari fungsi g adalah sebagai h mendekati 0. Hal ini akan
bekerja sebagai jalan untuk menyelidiki turunan dari setiap fungsi visual.
Bagaimana dengan
bukti? Ini memerlukan penggunaan sudut gabungan atau rumus faktor, bersama
dengan limit dari sin(h) dan cos(h) sebagai h mendekati nol, untuk membentuk, tetapi
membentuk turunan sebagai limit dari g sebagai h mendekati nol dapat membantu
untuk mendukung perluasan dari sin(A + B) dan cos(A + B).
Ø Pelajaran
6: Fungsi Eksponensial
Sebuah pendekatan yang
sangat mirip mungkin diadopsi untuk membentuk turunan dari fungsi eksponensial
dan menentukan nilai dari e. Pertama, kita perlu mendefinisikan variabel basis a.
Jejak dari gradien fungsi menunjukkan bahwa ketika a dekat ke 3, turunannya
dekat ke fungsi a^x (lihat gambar 6).
Dengan merencanakan
lokus dari Q (bukan jejaknya), siswa dapat menyelidiki nilai dari a dengan
akurasi yang lebih besar.
Gambar 6 : menemukan
turunan dari a^x dan memperkirakan nilai e
Ø Pelajaran
7: Integrasi
Menentukan daerah
fungsi sebagai invers dari turunan menggunakan GeoGebra bergantung pada
menggunakan fungsi uppersum dan lowersum. Namun, kita awalnya bisa menyelidiki
daerah di bawah f(x) = xdengan menelusuri daerah poligon (atau segitiga) di
bawah kurva (lihat gambar 7).
Untuk gambar ini, kita
inputf(x) = x, buat titik (point) O dan A pada sumbu x, dan inputP = (x(A), f(x(A))). Bangun polygon AOP (daerah standar dihitung,
dilambangkan oleh poly 1), dan kemudian input
titik Q = (x(A), poly1). Jejak dari Q sebagai A bergerak pada sumbu x dapat
dilihat menjadi fungsi g(x) = ½ x2. Hal ini dengan mudah dibuktikan
sebagai daerah dari segitiga AOP. Sebagai poligon yang bermata lurus, kita
perlu menetapkan ide mendekati daerah di bawah kurva menggunakan persegi
panjang. Pada gambar 8, fungsi f(x) = x, dan limit a dan b diinput dengan nilai awal 1 dan 2, jumlah
persegi panjang diinput sebagai n, dengan nilai-nilai dari 0 sampai 200. Kemudian
masukkan U = Uppersum [f, a, b, n] dan L = Lowersum [f, a, b, n] dan amati bagaimana U dan L saling mendekati saat n bertambah.
Gambar 7: menemukan
integral dengan menelusuri daerah suatu poligon
Gambar 8: uppersum dan
lowersum saling mendekati sebagai n yang semakin besar
Dengan pengaturan
kembali nilai n sebagai1000, sebagai contoh, telah dirancang sebuah daerah
perkiraan kalkulator, dan penelusuran, atau menemukan lokus, dari titik Q =
(x(B),U) akan membuat ‘daerah sejauh’ fungsi. Hal ini pada gilirannya dapat
digunakan dengan f(x) = 1/x untuk membuat fungsi ln x (lihat gambar 9)
Gambar 9:
memperkirakan ln(x) menggunakan uppersum ketika n=1000.
Kesimpulan
Bab ini
menguraikan suatu model dasar pendekatan untuk kalkulus menggunakan GeoGebra. Diferensiasi
diperkenalkan dengan menyelidiki gradien dari pergerakan garis tangen,
membangun gradien fungsi sebagai trace atau lokus, dan menggambarkan turunan
sebagai limit dari gradien suatu garis. Tahapan-tahapan ini dapat diikuti pada
awalnya untuk fungsi polinom dan diperpanjang untuk mengembangkan hasil bagi
fungsi trigonometri dan eksponensial.
Sebuah
pendekatan untuk integral Riemann juga diusulkan, meskipun sedikit, menggunakan
fungsi poligon untuk menyelidiki daerah di bawah f(x) = x, menggunakan fungsi Uppersum
dan Lowersum untuk mengembangkan fungsi daerah perkiraan. Meskipun dimungkinkan
untuk mengembangkan kalkulus dengan cara
yang sama melalui kumpulan grafik atau paket geometri interaktif lainnya,
diungkapkan bahwa ada keuntungan dalam menggunakan GeoGebra, yaitu:
-
Kemudahan
dan aksesibilitas perangkat lunak;
-
Kemudahan
penggunaan program: menu, options, dan on-screen membantu guru sehingga tidak
perlu menghabiskan waktu dalam mempelajari bagaimana menggunakan perangkat
lunak;
-
Langkah-langkah
dalam membuat gambar dapat dideskripsikan hanya dengan menggunakan kata-kata
kunci seperti point, input, construct,
measure;
-
Input
dari ekspresi aljabar dekat dengan yang digunakan dalam pekerjaan menggunakan
pen dan kertas, sehingga memperkuat hubungan antara aspek geometri dan aljabar
dari kalkulus.
Meskipun geometri
interaktif dapat menjadi sarana ampuh untuk mengatasi hambatan dalam
mempelajari kalkulus, penting untuk menjaga model berbasis pendekatan dalam
perspektif. Ini tidak akan, dan memang tidak bisa, menggantikan kebutuhan siswa
untuk menguasai keterampilan tertentu proses aljabar. Terdapat juga aspek
pengajaran dan pembelajaran kalkulus, seperti teknik diferensiasi (hasil,
kecerdasan, dan aturan rantai).
Bagi penulis, aspek
yang paling menarik dari pemodelan kalkulus menggunakan GeoGebra adalah bahwa
hal itu muncul untuk menyediakan siswa dengan perangkat yang ampuh untuk
meneliti, dan menciptakan kembali, hasil untuk mereka sendiri, dan dengan
demikian, meningkatkan kedalaman pemahaman mereka diluar pencapaian dengan
pendekatan tradisional, dimana konsep dan hasil disajikan sebagai fakta dan
aturan yang harus dipelajari. Kesenjangan antara intuisi dan teori sangat luas
dalam kalkulus, dan dalam GeoGebra, siswa memiliki perangkat yang baik untuk
menjembatani kesenjangan ini.
Daftar Pustaka
Boyer, C. (1985). A
history of mathematics. Princeton, NJ, Princeton University Press.
Butler, D. & Hatsell, M. (2003). Autograph version 3. Cambridge,
Eastman Publishing.
Clements, C., Pantozzi, R., & Steketee, S. (2002). Exploring calculus with the geometer’s
sketchpad, Emeryville, Ca, Key Curriculum Press.
Cuban, L. (2001). Oversold
and underused: Computers in the classroom. Cambridge, Mass, Harvard
University Press.
Dubinsky, E. (1991). Reflective abstraction in advanced
mathematical thinking. In D. Tall (Ed.) Advanced
Mathematical Thinking (pp. 95–126). Dordrecht: Kluwer.
Fischer Trust (2004). High impact ICT resources - Secondary mathematics [online].
Retrieved January 15, 2010, from:
http://www.fischertrust.org/downloads/ict/Report_Sec_Maths.pdf
Little, C. (2008). Interactive geometry in the classroom:
old barriers and new opportunities. British
Society For Research into Learning Mathematics, 28, 49–54.
O’Connor, J., & Robertson, E. (1996). A history of the calculus [online].
Retrieved January 15, 2010, from:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical
conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the
same coin. Educational Studies in
Mathematics, 22, 1–36.
Chris Little Mathematics teacher, Hampshire UK Formerly Executive
Director, School Mathematics Project, England
